【問題解説】センター試験平成29年度本試験 IA　第1問(続3)

どれだけ時間をかけて第1問解いているんだと言われそうですが、今回でようやく終了。
二次関数の問題です。

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まずは頂点を求める問題。平方完成をすればいいだけです。

$$ g(x)=x^{2}-2(3a^{2}+5a)x+18a^{4}+30a^{3}+49a^{2}+16 $$ $$ =\left\{ x-(3a^{2}+5a) \right\}^{2}-(3a^{2}+5a)^{2}+18a^{4}+30a^{3}+49a^{2}+16 $$ $$ =\left\{ x-(3a^{2}+5a) \right\}^{2}+9a^{4}+24a^{2}+16 $$

ゆえに頂点の座標は $$ \left(3a^{2}+5a, 9a^{4}+24a^{2}+16 \right) $$ と求まります。

これは
二次関数の頂点 $(p, q)$ ⇄ $y=a(x-p)^{2}+q$
という、いわば日本語と数式の間の翻訳がわかっていればいいわけです。この翻訳という行為をもう少し固い表現を使うと、 定性的な表現を定量化して表すということ（或いはその逆）です。このことは数学という学問において、厳密さを考える場合（或いは感覚的に理解する場合）に非常に重要です。

次に頂点の$x$座標が$a$で表されていて、この最小値を求めます。ここで、$a$を$x$として$y＝3x^{2}+5x $の二次関数で考えると、この最小値だから平方完成で頂点＝最小値いいのですが、問題の特殊性に着目してみます。$3a^{2}+5a$は定数項がありません。ゆえに $a$でくくることができます。

$$ 3a^{2}+5a=a(3a+5) $$

このことから二次関数で考えると、$x$軸のとの交点が$0$と$-\frac{5}{3}$であることがわかります。我々は最小値である頂点を求めたいのですが、手元にあるのは$x$軸との交点です。頂点と交点にはどんな関係があるのでしょうか。 ここで武器としてひとつ知っておくべきことがあります。当たり前といわれればそれまでなのですが、

全ての二次関数は相似であり、線対称である。

ということです。今回の問題ではあまり相似であることは使いませんが、相似であるということは比の観点で、ある二次関数で成り立てば別の二次関数でも成り立つことを意味します。それから、線対称であるということ。これはもちろん頂点を通る線で対称ということです。今回はこっちを使います。

交点が$0$と$-\frac{5}{3}$ということは、この中点$-\frac{5}{6}$が頂点の$x$座標です。これを代入した値が頂点の$y$座標=最小値になります。

$$ -\frac{5}{6} \times \left\{ 3\times \left( -\frac{5}{6} \right) +5\right\}= -\frac{5}{6} \times \frac{5}{2}= -\frac{25}{12} $$

次に$g(x)$の頂点の$y$座標の値$9a^{4}+24a^{2}+16$の最小値を考えます。誘導にのって$t=a ^{2} $とおくと $$ 9t^{2}+24t+16 $$ と書くことができます。ここで文字の置き換えを行ったわけですが、一つ注意することがあります。数学において、変数とはとても大切なものですが、よく忘れがちなのがその変域です。（正確にいうと実数の場合ですが）問題で問われていてもいなくても、すべての実数だったり、ある区間だったりまちまちですが、必ず変域というものはあります。文字を置き換えたとき、その置き換えた式にばかり意識が向きますが、必ず変域がどう置き換わるのかも合わせて考えましょう。

文字を置き換えたときは、新しい文字の変域を考える。

今回の場合、$a$は実数全体が変域で、$t=a ^{2} $と置くことで$t \geqq 0 $となります。 $$ t=a ^{2} \space \space (t \geqq 0) $$ と後ろに書き添えることを意識付けておけばいいと思います。

で、この式の最小値ですが、またも平方完成すれば解けはします。しかし、ここでも問題の特殊性に着目してみましょう。先程$t \geqq 0$という変域を確認しました。そして、$9t^{2}+24t+16 $は平方完成から頂点を求める流れを意識すると、具体的な値はさておき、頂点の$x$座標は負であることはすぐにわかります。

・t $\geqq$ 0
・頂点の$x$座標は負

このことから下の図のようになっていることから、最小値は計算せずとも16とでます。二次関数はグラフを描くことは簡単なので、グラフ的にどういう状況なのかを考えてみることをオススメします。