今回も理科大問題解説の続き。今回のはただの計算問題。
問題
解説
これまで求めた$f(x)$を再掲する。
$$\begin{equation}
f(x)= \left \{
\begin{array}{l}
-x^2+6x+4 ( x<1, 6 \leqq x) \\
(x-4)^2 ( 1\leqq x < 3)\\
x-2 ( 3\leqq x < 6)
\end{array}
\right.
\end{equation}$$
こんな$f(x)$において、$t \geqq 10$において
$$\int_{0}^{t}f(x)dx$$
を計算するのが今回の問題だ。
区間ごとに顔が入れ替わるこの関数は、$t \geqq 10$であることからそのすべての顔（関数）が現れることになる。
$$\int_{0}^{t}f(x)dx=\int_{0}^{1}(-x^2+6x+4)dx\\+\int_{1}^{3}(x-4)^2 dx+\int_{3}^{6}(x-2)dx+\int_{6}^{t}(-x^2+6x+4)dx$$
これをただ計算していくだけで、ただの手の運動だ。
$$\int_{1}^{3}(x-4)^2 dx+\int_{3}^{6}(x-2)dx$$
のところから先に計算を始めると、
$$\int_{1}^{3}(x-4)^2 dx=\left[ \frac{(x-4)^3}{3} \right]_{1}^{3}=\frac{26}{3}$$
これは、微分した式が
$$(x-4)^2$$
となるような式は
$$ \frac{(x-4)^3}{3} $$
だとすぐわかるから簡単だ。
$$\int_{3}^{6}(x-2)dx$$
に関しては、一次式だから更に簡単なんだけど、一次式って直線の式で、積分は面積であることを考えると、グラフを描いてみるとただの台形の面積とわかる。
これより、
$$\int_{3}^{6}(x-2)dx=\frac{(1+4) \times 3}{2}=\frac{15}{2} $$
とほんのわずか早く解くことができる。
$$\int_{0}^{1}(-x^2+6x+4)dx=\frac{20}{3}$$
$$ \int_{6}^{t}(-x^2+6x+4)dx=- \frac{ t^{3} }{3}+3t^{2}+4t-\left( - \frac{ 6^{3} }{3}+3 \times 6^{2}+24 \right) \\ =- \frac{ t^{3} }{3}+3t^{2}+4t-60 $$
は、ただ計算するだけだ。
よって、
$$\int_{0}^{t}f(x)dx=\frac{26}{3}+\frac{15}{2}+\frac{20}{3}- \frac{ t^{3} }{3}+3t^{2}+4t-60 \\ =- \frac{ t^{3} }{3}+3t^{2}+4t-\frac{223}{6}$$
と求まる。
この問題は、数学的筋トレだね。
