【問題解説】センター試験平成31年度本試験ⅠA 第4問－２

気がついたらもう12月。はやい。まだ今年半分くらいな感覚だけど、それだと夏なわけで、今は寒いしやっぱりちゃんと一年経とうとしている。
こうやって考えると人生って短くて、シャンソンの名曲「人生は過ぎゆく」の歌詞にでてくる主人公の悲哀が年々リアルになっていくな。

ということで前回の続き。

問題

解説

前回につづき、
たまたま一次不定方程式のところを怠っていたら、見事試験にでてしまった
という仮定で考えていこう。

回答欄の形をみると
$x=ak+8$
$y=bk+17$
となっている（$a$、$b$はそれぞれ回答欄）。

今ボクらに与えられていることは、これら$x$、$y$が
$49x-23y=1$
を満たすということ。

悩んでても仕方ないからとりあえず代入してみよう。代入するとは文字を減らすということだから、問題を簡単にできる可能性がある。

どっちをどっちにいれてもいいんだけど、$x=ak+8$から代入することにして、
$49(ak+8)-23y=1$
これを$y$について解くと
$y=\dfrac{49ak+49\cdot 8 -1}{23}=\dfrac{49}{23}ak+17$
となる。

この変形は登場人物が整数であることを考えれば自然なアプローチで、説明は過去の記事を参考にしてもらいたいけど、つまるところ整数＝分数の形にしておいて、＝で繋がってるんだから右辺だって整数のはずだよねってスタンスで考える例のアレだ。

でこの問題においても、左辺は整数（自然数）なので、もちろん右辺も整数（自然数）だ。そしてこの式は任意の$k$で成立するので、
$a=23$
とわかる。

このとき$y$は
$y=49k+17$
と表現されるので、$b=17$だとわかる。

ここで（1）終了。お決まりの方法を知らずしても、解くことができた。

ということで、（2）は次回。

次回はこんなに更新間隔あけないように頑張ります。

センター試験過去問研究　数学?・Ａ／?・Ｂ (2019年版センター赤本シリーズ)